今天人们挂在嘴边的“互联网+”，就是指一个产业一旦利用互联网进行改造，效率就会倍增。与此类似，自然科学各个学科的形成和发展，是一个“数学+”的过程，即正如马克思所说：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”
如今高等数学已成为大学的通识课，许多人都学过。但是，学过高等数学并不等于思维方式已上升到高等数学的层次。对于不专门从事数学研究的人来说，学习数学不一定要学习很多很深的内容，而应把提升认知水平和掌握思维方法作为学习数学的目的。学习方程和函数，能够使我们学会把握事物联系和变化的方法；学习数列和级数，能够使我们学会把握事物变化规律和趋势的方法；学习微积分，能够使我们学会把握宏观和微观的方法；学习几何，能够使我们学会公理化的思想方法；学习概率统计，能够使我们学会把握不确定性的方法。学习数学，重要的是要理解这些数学方法，并在工作和生活中使用好这些方法。做到这一点，才算真正进入到高等数学的认知水平。
一、用计算证明“一带一路”倡议的正确性
自1978年实行改革开放后的40年里，世界经济增长的平均水平为3%，而中国经济实现了年均8%的指数增长，这一方面归功于中国人的奋斗精神，另一方面还有两个数学上的原因：一是我国最初的经济基数小，能够持续高速增长；二是过去国内市场一片空白，产品供不应求，而国际上很多国家的人均财富比中国高很多，相比中国过去的生产能力，这些国家的购买力近乎无限。但是到2018年，中国人均GDP已经达到了世界的平均水平，总的经济体量已经居世界第二，占全世界经济总量的18%。但是，从数学的角度说，中国不可能一直维持过去的增长速度。
我们假定中国经济能够按照每年6.2%的速度增长，再过40年，中国GDP大约能增长10倍。而扣除中国的贡献，中国以外的其他国家和地区的经济增长速度只有2.34%左右，40年后只能增长1.5倍左右，那时中国的GDP大约能占到全世界的50%。这样拥有全世界人口
以上的其他国家的财富仅仅和中国一样多，它们就都没有足够的财富卖得起中国不断制造的产品和不断提供的服务。要解决这个问题只有两个办法：一是提高世界其他地区的购买力和经济增长水平；二是让中国经济增长速度降到世界的平均水平。低于世界平均水平的经济增长显然不是我们想要的。于是促进共同发展、实现共同繁荣的合作共赢，即“一带一路”倡议，就是中国不得不做的事情。中国不可能既拥有全世界大部分的财富，还让世界其他地区买得起中国的产品。因为当一个占据世界GDP很高比例的经济体想维持高增长，就必须输出资本，否则全世界的人都买不起你的产品。
二、用黄金分割做决定
华罗庚先生大力提倡的“优选法”也常被称为0.618法：用优选法在一个区间中所选的两个点，就是此区间上的左、右黄金分割点。即优选法的理论基础是黄金分割。
有人提出过一个“小康型购物公式”：
小康型消费价格=0.618×（高档消费价格－低档消费价格）+低档消费价格。
也就是说：你在选购商品时，根据自己的财力状况，若认为高档价格过于昂贵，而低档价格的商品款式、性能等又不尽如人意，那么你可以选购价格为上面公式所给的档次的商品——它的价格中等偏上，堪称“小康”水准。
在很多需要做决定的事情上，可以把做决定的时间点放在黄金分割点或反方向的黄金分割点上。
一种情况是需要更多一点时间做比较、做决定，这种情况做决定的时间点不妨往后放放，但是也不要拖到最后一刻。比如出门度假寻找酒店和机票，你需要时间了解情况，有时需要货比三家，然后再做决定。做决定的时间就可以选择在黄金分割点上。如果你有10天时间，前6天可以收集信息、做比较，第7天做决定，这时候的决定在很大程度上会是最优的，但决定不要拖到最后一刻再做，因为那时很可能要么酒店订不上了，要么机票太贵。
另一种情况是，在做决定后需要较长的时间来实现我们的想法，这种情况可以把做决定的时间点放在0.382的地方，也就是反方向的黄金分割点上。很多投资人给创业者的建议也是如此，即不要把大部分时间花在想做什么事情上，而要花更多的时间来做。因此在创业初期，创业者可以尽量尝试，但在时间过了38%左右，就应该明确自己该做什么了，然后把大部分时间用于做好这件事上。
尽管对每个具体的问题存在比简单利用黄金分割更好的解决办法，但是对于很多问题，由于我们缺乏对细节的了解（或者了解细节的成本太高，不值得做），或者因为问题并不会经常发生而不值得花太多时间，或者因为其他的原因，我们直接采用黄金分割进行简单的试错，不失为一种高效率、高收益的做事方法。只要我们遵循一定的准则，就不会得到太坏的结果，这其实反映出数学原理的普适性。
三、用公理化思想管理企业
一个企业最重要的是它的愿景使命、价值观和文化。一个卓越的企业在这方面都做得很好，相反一个平庸的企业可能到关门都没有考虑清楚这些问题。愿景使命是一家企业存在的理由。譬如，华为的愿景使命是：“把数字世界带入每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界。”使命体现了企业和社会的关系。价值观体现了企业内的人和企业外的人的关系，比如是服务客户优先，还是回报社会优先，还是让投资人受益优先。企业文化则反映了企业内人和人的关系。这三方面相当于几何学的公理，我们不妨称之为企业管理的三条公理。
这三条公理决定了企业的规章制度和市场定位。有了这三条公理，哪些事情可以做、该怎么做、不该怎么做，哪些事情不能做，就可以决定了。这些规章制度相当于几何学中的定理。再接下来企业会逐渐产生很多做事情的流程、方法和习惯，并不断优化，它们可以被看成是定理的推论。规章制度、流程、方法和习惯一旦确立，市场定位便确定了。当然，三条公理一旦确定，企业的基因也就定了。基因不同，企业发展也就不同。这就如同在几何中，平行公理不同的设定方式得到了不同的几何学体系。当然，世界上不止一种公理体系，因此也不止一种好的企业。
一个企业如果把客户放在第一位，那么当员工和客户有矛盾时，大家就要想想是否必须牺牲掉一些自己的利益去满足客户。如果把员工的利益放在第一位，那么即使再困难，也要保证员工的利益。当然，也可以把投资人的利益放在第一位。这三类企业之间并没有好坏之分，坚持做到一点，就是好企业，这就如同欧氏几何、罗氏几何及黎曼几何没有对错之分一样。
在几何学中，公理之间必须具有一致性，不能产生矛盾。我们不能把欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何对平行公理的三种不同假设放在一起，去构建一个同时符合这三条公理的系统。类似地，在管理上，你也不可能定出三个彼此矛盾的原则，比如喊什么“顾客第一，员工第一和投资人第一”的口号，这种矛盾的价值观发展不出任何有意义的价值体系。最后的结果必然是，每一个无所适从的人都以“我的利益第一”为原则去做事。
人要做大事，心中就应该有自己的公理化体系，有自己始终不变的做人原则。要做大做强企业，也要有矢志不渝的企业愿景使命、价值观和文化。
四、用向量夹角撰写个人简历
今天很多大公司在招聘员工时，由于简历特别多，会先用计算机自动筛选简历，其方法的本质就是把人根据简历向量化，然后利用向量的点积计算夹角。
比如一个企业在招聘员工时把所有考核的项目总结为N个维度，每个岗位对各种能力的侧重点就是一个N维向量。对不同岗位人员的要求，体现为某些维度的权重很高，某些维度较低，一些无关的维度可以是0。比如对研发人员的要求主要是六个方面，权重如下（其他方面的要求权重是0，不做列举）：
（1）编程能力40；
（2）工程经验20；
（3）沟通能力10；
（4）学历和专业基础10；
（5）领导力5；
（6）和企业文化的融合度10。
当然公司不仅有研发部门，还有办公室、人事部门、销售部门、仓储部门等，对每个岗位的要求会有所不同，这样每个职位都对应一个N维向量，我们假设是V。接下来计算机会对简历进行分析，把每份简历变成一个N维向量，我们假设是P。然后就可以根据向量的点积计算P和V的夹角。如果夹角非常小，那说明某一份简历和某一个岗位可能比较匹配。这时简历才转到相应的人事部门，人事部门才开始看简历。如果某份简历和哪个岗位都不匹配，这份简历就石沉大海了。
很多人在写简历时常犯的一个毛病就是重点不突出，他们的简历所对应的其实就是一种每个维度数值都差不多的向量，这种向量和每个岗位对应的向量的夹角都不会小，即和每个职位的匹配度都不高。很多人喜欢在简历中把自己描绘成全能的人，其实在计算机匹配简历和工作时，这种简历常常一个职位都匹配不上。很多人觉得简历上多写点东西没坏处，这种认识是错误的，这些画蛇添足的内容恰恰稀释了求职者的竞争力。在准备简历时，求职者应仔细阅读岗位要求，然后根据要求写简历，在公司看重的维度上体现出亮点和特色，这样简历和岗位的匹配度就会高。在公司根本不在意的维度，写简历时不需要强调相关经历。
五、用等比级数处理舆情
在社交网络上，有时一篇文章会不断地被转发，然后大家就看到相关事件不断地被发酵。这很好理解，我们常说，一传十，十传百，其实就是说公比r=10的时候，经过等比级数的增长，数量剧增的情况。
我们假定浏览公众号的人中阅读了某一篇文章的第一批读者数量是a1，这些人读了之后觉得有价值，然后转发了文章的比例为p，每一次转发，平均能有k个受众，而这些受众中打开阅读的比例为q，那么第二批读者就有a1·p·k·q个，我们把p·k·q用r代替，即第二批有a1·r个读者。以此类推，第三批有a1·r2个读者，……。如果r＞1，那么这篇文章就霸屏了；但是如果r＜1，级数是收敛的，无论怎么花力气传播，无论一开始花多少钱让a1变得很大，读的人数都有限。比如，第一批读者是5000人，而r=0.5，最终所有的读者加起来，不到1万。当然，同样是收敛级数，也有收敛得快和慢的问题。如果r=0.9，那么读者数量就可以达到5万，还是不错的；但如果r=0.1，最终就只有大约5555人会读到。如果一个媒体花大价钱推广，让a1达到了10万，而r却只有0.1，最后也不过是大约11.11万人会读到。
在生活中，我们并非所有的时候都希望r＞1，当出现负面舆情时，我们就希望r＜1，不希望谣言扩散，希望它尽快终止。事实上，只要不挑起新的事端，火上浇油，随着时间的推移，r都会逐步下降。因此，一旦出现负面舆情，最好的做法就是什么事情都别做，不要引起新的话题，因为通常新闻传播的r值会衰减得很快，负面影响会很快结束。不断解释，只会让r值长期维持在较高水平，往往适得其反。
六、用微分选择是锻长板还是补短板
在工作和生活中经常会遇到这样的问题：一件事情有很多变量，不知道该改变哪个变量，才能以最快的速度进步。微分就是通过宏观现象，获得对微观规律的了解，微分这个工具中有一个梯度的概念，梯度是微分的一个扩展。利用梯度，我们就能很好地解决以上问题。
我们知道，圆柱体的体积V=πr2h(其中，r是底面半径，h是高)，我们可以针对半径变化dr求微分dV，也可以针对高度变化dh求微分dV。如果我们把这两个微分以向量的形式放在一起，就是梯度，即圆柱体的体积函数的梯度是：
对于圆柱体的体积函数，对比两个分量的值，我们很容易知道：当
时，要增加圆柱体的体积，就应该优先增加h。
人一辈子的成败取决于很多因素，虽然我们总想全方位改进自己，但人的精力和资源有限，在某一时刻，可能只能向一个方向努力，因此决定该朝哪个方向努力非常重要。方向搞错了就事倍功半，搞对了就事半功倍，梯度其实就是指导我们选择方向的工具。
面对同一种情况，很多人从木桶理论出发，觉得该补短板；另一些人则根据长板理论，觉得该把长板变得更长。无论是补短板还是锻长板，都有很多成功的例子，也有很多失败的教训。于是大家就糊涂了，不知道该用哪个理论。事实上，理解了梯度理论后，就很容易做决断了：只要在任何时刻（或者当前位置）知道了梯度，然后沿着最陡但是收益最大的路径前进就好。比如，在增加圆柱体体积时，是增加底面半径r还是高h，就看情况而定了。如果高度太低，它是严重的短板，需要弥补；只要高度超过圆柱体半径的一半时，就要改变策略，增加长板（半径）的优势了。而导致这样决策的原因是，在体积函数中，半径这个变量有一个平方，即它的作用要大一些，是我们要建立的长板优势。
在我们工作和生活的目标函数中，变量的数量通常远不止两三个，每一个变量以不同的方式影响着我们长期进步的趋势。但是在每一时刻，我们都可以计算一下自己的目标函数针对各个变量的微分，得到当下的梯度，找到能取得最显著进步的方向，然后去努力。这就是通过宏观趋势把握微观变化。
参考文献
吴军.吴军数学通识讲义[M].北京：新星出版社，2021.
来源|华东师大出版社基教分社
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