五点三点五，两两独立与互相独立。
一起来看一道书上的非常好的题目，这个题说ai，这个事件是抽到的卡片上数数字有i，然后每次抽一张判断a 1，a 23是不是互相独立。
先把a 1，二二三的概率求出来，他每次只抽一张吗？所以总情况是4，抽取任意一张。上面要是有一，就是这两张所以是四分之二，所以他的概率是二分之一。同样的道理，我们知道抽的数字要是二也是两张，抽三也是两张，直接写就行了。
来看，他要互相努力，他要满足的是从里面任一多个事件出来，他们都是都是独立的。先验证这个，先验证a、1，a 2，a 3同时成立a 1，且a 2，且 a 3，意思是抽到的卡片上有一，抽到卡片且抽到卡片上有二，且抽到卡片上有三，就是三个数字都要有，不就只有这一张卡片吗？
因此总情况是每张卡片抽到的是等可能的，只有这一张满足情况就四分之一，而这个是不等于p，a一乘a二乘p a三，因为这三个相乘应该是二分之一乘二分之一，再乘二分之一不就八分之一，肯定不等于四分之一。所以所以a、1，a、2、a三就已经不断相互独立了，他已经就不相互独立了。
再来研究这种情况，来研究这个，p、1、a、2，这个情况，a 1、a二的意思就是抽到的卡片上既要有一，又要有二，不就还是这张吗？只有这张卡片上面既有一又有二，就是四分之一。而这个四分之一刚好是等于a、1，a、2，这两个的概率相乘因为二分之一乘二分之一不恰等于四分之一吗？
所以a、1和a、2，两两独立，两个独立，就是两个独立。这两个是独立的。同样的方法可以验证a、2和a三，也是两个独立的，a 1和a三也是两个独立的，所以它满足这三个就可以说a1，a2，a三是两两独立的。
这道题非常精彩的说明了三个事件，可以两两独立，不一定互相独立。这就讲到这里。
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